偏微分方程式の解（例１）下記に示すような多変数の関数は、微分すると偏微分となります。
（下記に示す偏微分方程式が与えられた時の解f(x,t)を求める。
t＝0の時の初期条件を下記とする。
（21.2）式をラプラス変換すると
(21.3)式の初期条件を（21.4）式に代入して整理すると
逆変換をおこなうと
となる。
偏微分方程式の解（例２）下記に示す偏微分方程式が与えられた時の解f(x,t)を求める。
初期条件は下記とする
(21.10)式をラプラス変換すると
（21.11）式を代入して整理すると
（21.14）式は微分して関数形が変化しないので、下記の指数関数が解となる。
（21.15）式において、C(s)はｓの関数である。
Ｘ＝0とすると（21.15）式は
従って
よって
逆変換は
従って
となります。
偏微分方程式の解（例３）図21-1に示す弦の変位を表す方程式は下記の偏微分方程式となります。
境界条件
（21.30）式をラプラス変換すると
境界条件をいれると
(21.36)式は下記のように書き換えることができる。
ここで下記式の特殊解を求めます。
ここで
（21.38）式に（21.39）式と（21.40）式を代入して整理すれば、
従って
同様にして
も特殊解となります。
最後の特殊解は下記式を代入して求めます。
（21.37）式に（21.45）式と（21.46）式を代入して
従って
従って
境界条件
から
（21.51）式と（21.52）式を満足する定数は
従って
（21.54）式をラプラス逆変換すると
これが求める解である。
（21.55）式において、aが大きく、弦の長さが短いほど高周波振動となる。
後書き複素数や複素関数は概念的に理解しにくいですが、2次以上の方程式を解くために 複素数が必要となります。
また、微分方程式を解くために複素関数が必要となります。
そして、ラプラス変換・ラプラス逆変換を使用すると、微分方程式を鮮やかに解くことが できます。
偏微分方程式の解においては、ラプラス変換・ラプラス逆変換法と代入法を併用して 解を求めていますが、代入法と比較してラプラス変換・ラプラス逆変換法は鮮やかです。
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