16章:梁の計算

作成2012.10.27

     図16-1に示すように水路の中央に計測機を設置して水質を測定する場合に、どのような構造ににべきか?

     この課題に対する解答は無限にあり、その中から望ましい方法を選択する必要があります。
     
  1. H鋼の梁を使用
     H鋼は強度計算に必要な定数が機械工学便覧に記載されており、最も強度計算が容易な例です。欠点はH鋼はmあたりの質量が大きく重いため、運搬と設置工事が大変です。


     強度計算結果を以下に示します。
    100×50H鋼強度計算表(両端単純支持)
    項目記号(=計算式)単位
    ヤング率E205800N/mm^2
    断面2次モーメントI1870000mm^4
    断面係数Z37500mm^3
    梁の長さL8000mm
    集中荷重W1000N
    等分布荷重w0.09114N/mm
    梁の重量G=wL729.12N
    集中荷重の計算
    項目記号(=計算式)単位
    最大モーメントM1=WL/42000000Nmm
    最大応力σ1=M1/Z53.3333333333333N/mm^2
    最大歪δ1=WL^3/(48EI)27.7167143913843mm
    等分布荷重の計算
    項目記号(=計算式)単位
    最大モーメントM2=wL^2/8729120Nmm
    最大応力σ2=M2/Z19.4432N/mm^2
    最大歪δ2=5wl^3/(384EI)0.00157881334351923mm
    集中荷重+等分布荷重の計算
    項目記号(=計算式)単位
    最大モーメントM=M1+M22729120Nmm
    最大応力σ=σ1+σ272.7765333333333N/mm^2
    最大歪δ=δ1+δ227.7182932047278mm

    EXCEL計算シートは以下で参照できます。
    「100×50H鋼強度計算表(両端単純支持)」にいく。

     SS400材の耐力は215(N/mm^2)であり強度的には問題が無いことがわかります。最大撓みが27.7mmもありますがこれも問題ないでしょう。
     強度計算が容易で、加工も素材を一定の長さに切るだけですので容易でしょう。しかし梁の重量は729N(74.4kg)もありますので、運搬と設置工事は重量物の扱いが必要となります。


  2. ワイヤー構造
     図16-2にワイヤー構造を示します。この場合の計算は手計算でも可能ですがトラスの計算プログラムを使用すると簡単です。
     図16-2において、ワイヤー径をΦ5mmとすると、ワイヤーの質量は1.32kgと小さく、運搬、設置は容易となります。
     ただし、ワイヤー固定部に負荷がかかるため、固定部の基礎がしっかりしている必要があります。

    基本計算条件
    項目記号単位備考
    節点数Jn3最大100点
    要素数En2最大100本
    外力の加わる節点数Ns1最大100点
    固定端の節点数Fixn2最大100点
    節点座標
    節点番号X座標(mm)Y座標(mm)支持条件
    100XY固定
    280000XY固定
    34000-1500
    荷重条件
    節点番号荷重Wx(N)荷重Wy(N)
    30-1000
    部材条件
    部材番号節点Pi節点Pjヤング率E(N/mm2)断面積A(mm2)
    11320580019.6349540849362
    22320580019.6349540849362
    変位計算結果
    節点番号変位Δx(mm)変位Δy(mm)
    100
    200
    30-4.2875
    応力・軸力計算結果
    部材番号応力σ(N/mm2)軸力F(N)
    172.52381424.00062421959
    272.52381424.00062421959

     H鋼では部材質量が7.4kg、変位量が27.7mmに対して、ワイヤー質量は1.32kg、変位量は4.3mmと小さくなります。ただ し、ワイヤー固定部の基礎がしっかりしている必要があります。


  3. トラス構造
     図16-3に3角トラス構造を示します。この場合トラスの計算プログラムに問題があり、修正が必要になりました。
     問題となったのは、両端の2点をXY方向とも完全固定にすると3角形の上辺の部材の変形がゼロとなり、上辺の部材にかかる軸力がゼロとなります。
     固定部の基礎が不安定の場合、単純支持条件とすべきです。単純支持条件はこの場合、節点1がXY固定、節点2がY方向のみ固定となります。条件によっては、節点1がXY固定、節点2がX方向のみ固定となる場合もあります。
     節点2の固定条件をモード選択できるように計算プログラムの変更が必要となりました。

     下記のトラスの計算2.xls(フリーソフト)]をダウンロードしてください。

     ダウンロード後はダブルクリックで解凍してから使用してください。
    トラスの計算2.xls(フリーソフト)]をダウンロードする。

     図16-3において、部材径をΦ5mmとして計算を実行します。

    基本計算条件
    項目記号単位備考
    節点数Jn3最大100点
    要素数En3最大100本
    外力の加わる節点数Ns1最大100点
    節点2の固定条件Fixn2モード選択0or1or2
    節点座標
    節点番号X座標(mm)Y座標(mm)支持条件
    100XY固定
    280000モード選択
    34000-1500
    荷重条件
    節点番号荷重Wx(N)荷重Wy(N)
    30-1000
    部材条件
    部材番号節点Pi節点Pjヤング率E(N/mm2)断面積A(mm2)
    11320580019.6349540849362
    22320580019.6349540849362
    31220580019.6349540849362
    変位計算結果
    節点番号変位Δx(mm)変位Δy(mm)
    100
    2-2.63969325763040
    3-1.3198466288152-7.80711466334287
    応力・軸力計算結果
    部材番号応力σ(N/mm2)軸力F(N)
    172.52375625935751424.00062421959
    272.52375625935751424.00062421959
    3-67.906109052542-1333.33333333333

     節点2がx方向に縮むため変位量も-7.8mmと大きくなります。部材3は1333Nの圧縮軸力をうけますが問題ないでしょうか?
     部材3の直径がΦ5mmの鋼材では、圧縮による坐屈に耐えられないことは直感的にもわかると思います。この条件においては、SGP(配管用炭素鋼鋼管)40A(外形48.6mm)以上パイプを使用する必要があります。8mの質量は31.1kgであり、H鋼梁の条件と比較すれば軽くできます。
     坐屈応力の強度計算結果を以下に示します。
    項目記号(=計算式)単位
    ヤング率E205800N/mm^2
    外形d148.6mm
    内径d241.6mm
    長さL8000mm
    断面2次モーメントI=π(d1^4-d2^4)/64126842.644157422mm^4
    断面係数Z=π(d1^3-d2^3)/324201.87624718553mm^3
    断面積A=π(d1^2-d2^2)/4495.900400369149mm^4
    最小断面2次半径K=SQRT(I/A)15.9932016807142mm
    長柱の細長さ比λ=L/k500.212537783913無次元
    両端回転の場合n1
    坐屈応力(オイラーの理論公式)σcr=n(π^2)E/λ^28.1177555570799N/mm^2
    軸力F1333N
    圧縮応力σ=F/A2.68803977372818N/mm^2
    安全率S=σcr/σ3.01995366155649判定OK
    比重ρ0.00000785kg/mm^3
    部材質量G=ρAL31.1425451431825kg

    EXCEL計算シートは以下で参照できます。
    「坐屈強度計算シート)」にいく。

    トラスの変位計算結果と応力・軸力計算結果以下のように変化します。 変位計算結果
    節点番号変位Δx(mm)変位Δy(mm)
    100
    2-0.1044964836933240
    3-0.0522482418466619-4.42685229809344
    応力・軸力計算結果
    部材番号応力σ(N/mm2)軸力F(N)
    172.52375625935751424.00062421959
    272.52375625935751424.00062421959
    3-2.68817204301075-1333.33333333333
     トラス構造を採用すると一様断面積の梁構造と比較して、軽量化が可能となります。ただし部材の圧縮による坐屈に注意が必要です。部材の長さが長くなると坐屈しやすいので、部材長さを短くすると坐屈を防げます。
     したがって、網の目のように細かいトラス構造は軽量・高剛性の構造が可能となります。(ただし複雑な形状となります。)





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