１３章：コーシーの係数公式

    作成2011.01.23
  1. コーシーの係数公式
    　コーシーの積分表示を用いて、１回微分を行うと下記のコーシーの係数公式が得られます。

    　コーシーの積分表示をn回微分を行うと下記のコーシーの係数公式が得られます。



  2. （13.1）式の証明
    　aの近傍の１点をa+hとすると


    　従って、微分は下記式となります。

    （13.4）式において、｜X-a｜》｜h｜の関係があり、hを十分小さくすると、 （13.4）式の第２項はゼロとなります。
    従って

    となります。同様な操作を繰り返すとn回微分の一般式である（13.2）式が得られます。


  3. 数値積分による検証
    　コーシーの係数公式の検証を下記条件で行ってみます。

    従って（13.1）式は以下のように変形できます。

    　まず、下記の式を数値積分します。

    　積分路は図13-1に示す積分路とします。
    　また、a=1+iとします。


  4. 複素関数グラフのワークブック「複素関数13.xls」のダウンロード
    　下記のワークブック「複素関数13.xls」をダウンロードしてください。

    　ダウンロード後はダブルクリックで解凍してから使用してください。
    　     ワークブック「複素関数13.xls」をダウンロードする。


  5. ワークブック「複素関数13.xls」説明
    1. ワークブック「複素関数13.xls」は複素関数機能を使用しています。
    2. 複素関数機能を使うには、メニューの「ツール(T)」＿「アドイン(I)」を選択し、アドインリストの「分析ツール」にチェックマークを設定する必要があります。
    3. 「複素関数13.xls」をダブルクリックで起動します。
      　　　（マクロを有効にして開いてください！！）
    4. シート「操作」はパラメータの設定と操作を行います。
    5. シート「OUT_FM」は数値積分の計算結果です。
    6. シート「Graph1」は計算結果のグラフです。


  6. シート「操作」
    1. 定数　　　　　　a：Y＝X^2/(X-a)^2の定数を設定します。
    2. X-a　　　　　X-a：=IMSUB(C9,C13)を設定します。
    3. (X-a)^2　　(X-a)^2：==IMPOWER(C14,2)を設定します。
    4. X^2　　　　　　　：=IMPOWER(C9,2)を設定します。
    5. 積分路数　　Nr：積分路数を設定します。
    6. Xr(0)　　　　　　：積分路スタート点の実数を設定します。
    7. Xi(0)　　　　　　：積分路スタート点の虚数を設定します。
    8. Xr(1)　　　　　　：積分路1本目の終点の実数を設定します。
    9. Xi(1)　　　　　　：積分路1本目の終点の実数を設定します。
    10. N（1）　　　　　　：積分路1本目の分割数を設定します。
    11. Xr(2)　　　　　　：積分路2本目の終点の実数を設定します。
    12. Xi(2)　　　　　　：積分路2本目の終点の実数を設定します。
    13. N（2）　　　　　　：積分路2本目の分割数を設定します。
    14. Xr(3)　　　　　　：積分路3本目の終点の実数を設定します。
    15. Xi(3)　　　　　　：積分路3本目の終点の実数を設定します。
    16. N（3）　　　　　　：積分路3本目の分割数を設定します。
    17. Xr(4)　　　　　　：積分路4本目の終点の実数を設定します。
    18. Xi(4)　　　　　　：積分路4本目の終点の実数を設定します。
    19. N（4）　　　　　　：積分路4本目の分割数を設定します。
      注（１）積分路は斜め線の設定も可能です。
      注（２）積分路数の最大は50本です。

    20. 「計算実行」ボタンを押すと計算を実行します。

  7. 複素積分（13.9）式の数値計算結果
    　数値積分を行った結果を図13-2に示します。


  8. 代数計算結果
    　代数的に計算した結果を下記に示します。




  9. 複素関数Y=3*X^2の定積分の検証結果まとめ
    1. 数値積分の結果とコーシーの係数公式で代数的に計算した結果は完全に一致します。
    2. 積分路は特異点（極）を含む閉曲線であれば、計算結果は同じとなります。
    3. 積分路の回転方向を逆にすると符号が反転します。
    4. 積分路が２周すると、積分値が倍になります。


１４章：ラプラス変換とラプラス逆変換に行く。

トップページに戻る。