ラプラス変換ステップ関数は以下のように定義されているとします。
ｆ（ｔ）＝1 （a < ｔ)
ｆ（ｔ）＝0 （t < a)
ｆ（ｔ）＝0 （t < a)の時
ｆ（ｔ）＝1 （a < ｔ)の時
ラプラス逆変換ｆ（ｔ）＝0 （t < a)の時
ｆ（ｔ）＝1 （a < ｔ)の時
となります。ステップ応答のようにt=aを境に不連続に変化する場合は、場合わけが必要となります。
厄介ですね！！
a=0とすれば、t>0の条件で連続関数となります。
逆変換に関しては、コーシーの積分表示（12.1）式の関係を用いています。うまく元の値に戻っていますので、数値積分で検証するまでも無いと思います。
１６章：1次・2次関数のラプラス変換に行く。