１８章：ラプラス逆変換の基本テクニック

    作成2011.01.27(2011.01.28修正）
  1. ラプラス逆変換の基本テクニック
    　ラプラス逆変換の定義式（14.2）式です。

    　（14.2）式は下記式と等価です。

    　（18.1）式の積分路Cは関数F(s)の特異点（極）を全て含む閉曲線とします。
    　（18.1）式の積分を代数的に解くにはコーシーの積分表示（12.1）式を使用します。



  2. ラプラス逆変換実施例
    　ラプラス変換後の関数F(s)が以下の式の場合で説明します。

    　ここで以下の計算を実施します。

    　そして

    　として逆変換が完了します。


  3. ラプラス逆変換の一般化
    　ラプラス変換後の関数F(s)の分母が全て、1次因数に因数分解できるとき、上記の手法が一般的に適用できます。分母Q(s)が以下の場合

    　のとき

    　ラプラス変換後の関数F(s)の分母が全て、1次因数に因数分解できるとき、一般式の(18.8)式で ラプラス逆変換が可能です。


  4. 2次以上の因数で因数分解されるとき
    下記式のように

    　ラプラス変換後の関数F(s)の分母が（18.9）式のようになった時は、コーシーの係数公式（16.2）式を使用します。

    　逆変換は

    　以下の微分公式を使用します。

    　ゆえに

    　となります。


    　以上の方法で、ラプラス変換後の関数F(s)の分母がn次の累乗の方程式で表される場合のラプラス逆変換が可能です。
    　 n次の累乗の方程式の因数分解は２章：高次方程式解の求め方で説明した通りです。


  5. 数値積分による検証
    　下記式の数値積分を行い、代数解との比較を行います。

    　閉曲線の積分路は、図18-1に示す通りとします。

    　時間ｔは0〜2までを10分割して計算するとします。



  6. 複素関数グラフのワークブック「複素関数18.xls」のダウンロード
    　下記のワークブック「複素関数18.xls」（ラプラス逆変換プログラム）をダウンロードしてください。

    　ダウンロード後はダブルクリックで解凍してから使用してください。
    　     ワークブック「複素関数18.xls」をダウンロードする。


  7. ワークブック「複素関数18.xls」説明
    1. ワークブック「複素関数18.xls」は複素関数機能を使用しています。
    2. 複素関数機能を使うには、メニューの「ツール(T)」＿「アドイン(I)」を選択し、アドインリストの「分析ツール」にチェックマークを設定する必要があります。
    3. 「複素関数18.xls」をダブルクリックで起動します。
      　　　（マクロを有効にして開いてください！！）
    4. シート「操作」はパラメータの設定と操作を行います。
    5. シート「OUT_R」は数値積分実数部の計算結果です。
    6. シート「OUT_I」は数値積分虚数部の計算結果です。
    7. シート「比較」は数値積分と代数解の比較です。
    8. シート「Graph1」はシート「比較」のグラフです。


  8. シート「操作」
    1. Y＝exp(Xｔ)/((X-1)^2(X-2))　　：=IMDIV(C15,C17)を設定します。
    2. Xt　　　　　Xt：=IMPRODUCT(C9,C13)を設定します。
    3. exp(Xｔ)　　exp(Xｔ)：=IMEXP(C14)を設定します。
    4. X-1　　　　　：=IMSUB(C9,1)を設定します。
    5. X-2　　　　　：=IMSUB(C9,2)を設定します。
    6. (X-1)^2　　　：=IMPOWER(H16,2)を設定します。
    7. (X-1)^2(X-2)　　：=IMPRODUCT(C16,H17)を設定します。

    8. 初期時間　　ts：初期時間を設定します。
    9. 終了時間　　te：終了時間を設定します。
    10. 時間分割数　　Nt：時間分割数を設定します。

    11. 積分路数　　Nr：積分路数を設定します。
    12. Xr(0)　　　　　　：積分路スタート点の実数を設定します。
    13. Xi(0)　　　　　　：積分路スタート点の虚数を設定します。
    14. Xr(1)　　　　　　：積分路1本目の終点の実数を設定します。
    15. Xi(1)　　　　　　：積分路1本目の終点の実数を設定します。
    16. N（1）　　　　　　：積分路1本目の分割数を設定します。
    17. Xr(2)　　　　　　：積分路2本目の終点の実数を設定します。
    18. Xi(2)　　　　　　：積分路2本目の終点の実数を設定します。
    19. N（2）　　　　　　：積分路2本目の分割数を設定します。
    20. Xr(3)　　　　　　：積分路3本目の終点の実数を設定します。
    21. Xi(3)　　　　　　：積分路3本目の終点の実数を設定します。
    22. N（3）　　　　　　：積分路3本目の分割数を設定します。
    23. Xr(4)　　　　　　：積分路4本目の終点の実数を設定します。
    24. Xi(4)　　　　　　：積分路4本目の終点の実数を設定します。
    25. N（4）　　　　　　：積分路4本目の分割数を設定します。
      注（１）積分路は斜め線の設定も可能です。
      注（２）積分路数の最大は50本です。

    26. 「計算実行」ボタンを押すと計算を実行します。

  9. ラプラス逆変換（18.13）式の数値計算結果
    　数値計算結果と代数解の比較を図18-2に示します。


    　ラプラス逆変換の数値計算の結果と代数解は完全に一致します。




１９章：導関数（微分関数）のラプラス変換に行く。

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