複素対数関数の定義対数は指数の逆関数であるから、
の関係があります。
Yが実数の場合、Xはゼロより大きい実数でなければなりません。
Yが複素数の場合
複素対数関数は実数の対数関数の拡張形であり、 （7.3）式においては、Xはゼロ以外の値をとることができます。
対数関数の微分実数の微分公式がそのまま適用できます。すなわち(7.1)式をXで微分して
(7.2)式をXで微分して
(7.5)式に(7.6)式を代入し変形すると
(7.7)式は実数の対数関数の微分公式に一致します。
また、 (7.7)式はX=0において値が無限大となり、特異点となります。
複素関数グラフのワークブック「複素関数7.xls」のダウンロード下記のワークブック「複素関数7.xls」をダウンロードしてください。
ダウンロード後はダブルクリックで解凍してから使用してください。
ワークブック「複素関数7.xls」をダウンロードする。ワークブック「複素関数7.xls」説明- ワークブック「複素関数6.xls」は複素関数機能を使用しています。
- 複素関数機能を使うには、メニューの「ツール(T)」＿「アドイン(I)」を選択し、アドインリストの「分析ツール」にチェックマークを設定する必要があります。
- 「複素関数7.xls」をダブルクリックで起動します。
（マクロを有効にして開いてください！！）
- シート「操作」はパラメータの設定と操作を行います。
- シート「Yｒ」は関数Yの実数部３Dグラフです。
- シート「Yi」は関数Yの虚数部３Dグラフです。
シート「操作」- Xｒ分割数 Nr：変数Xの実数部範囲の分割数を設定します。
- Xｒ初期値 Xr1：変数Xの実数部の初期値を設定します。
- Xr終値 Xr2：変数Xの実数部の終値を設定します。
- Xi分割数 Ni：変数Xの虚数部範囲の分割数を設定します。
- Xi初期値 Xi1：変数Xの虚数部の初期値を設定します。
- Xi終値 Xi2：変数Xの虚数部の終値を設定します。
- 定数 A：関数Y=A*log(X)の係数を設定します。
- log log（X)：=IMLN(C16)を設定します。
- 「計算実行」ボタンを押すと３Dグラフを作成します。
デフォルト条件での実行結果図7-1にexp(X)の実数部３Dグラフ、図7-2に虚数部３Dグラフを示します。
複素関数Y=log(X)の実数部３Dグラフを図7-1に示します。
複素関数Y=log(X)の虚数部３Dグラフを図7-2に示します。
複素関数Y= log(X)の微分の検証1複素関数Y= log(X)の微分はdY/dX＝1/Xです。
Yの変化量ΔYはXが実数軸上で変化した場合、すなわち
X＝1、ΔX=0.1の時
Xが1から虚数軸上で変化した場合、すなわち
X＝1、ΔX=0.1×iの時
(7.8)式、(7.9)式の結果は３Dグラフ図7-1と図7-2の結果と比べて 矛盾の無いことが確認できます。
複素関数Y= log(X)の微分の検証2複素関数Y= log(X)を数値微分で検証します。
検証条件は
X＝1+i、ΔH=0.01×(1+i)とします。
Y= 1/Xの値は以下となります。
次に数値微分法で微分値を求めます。
結果は以下となります。
（7.12）式の演算はEXCELの複素関数機能を使用すれば簡単に計算できます。
さて、（7.10）式の結果と（7.11）式の結果を比較すると値が一致していることがわかります。
複素関数Y= logp(X)の特徴- 実数の対数関数の公式が複素数の対数関数に適用できます。
- 微分は1/Xとなります。
- 従って、不定積分は可能ですが形は変化します。
- X=0で値が無限大となり、特異点があります。
８章：複素三角関数に行く。