複素三角関数の定義複素数の三角関数は、複素数XとYに関して以下のように定義される。
実数での公式複素数においても、下記の実数での公式は成立します。
複素三角関数の微分実数の微分公式がそのまま適用できます。
三角関数を微分すると関数の形が変化するのではなく、位相がπ/2進むと考えることもできます。（これも実数と同じです。）
複素関数グラフのワークブック「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」のダウンロード下記のワークブック「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」をダウンロードしてください。
ダウンロード後はダブルクリックで解凍してから使用してください。
ワークブック「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」をダウンロードする。ワークブック「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」説明- ワークブック「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」は複素関数機能を使用しています。
- 複素関数機能を使うには、メニューの「ツール(T)」＿「アドイン(I)」を選択し、アドインリストの「分析ツール」にチェックマークを設定する必要があります。
- 「複素関数8-1.xls」「複素関数8-2.xls」をダブルクリックで起動します。
（マクロを有効にして開いてください！！）
- シート「操作」はパラメータの設定と操作を行います。
- シート「Yｒ」は関数Yの実数部３Dグラフです。
- シート「Yi」は関数Yの虚数部３Dグラフです。
シート「操作」- Xｒ分割数 Nr：変数Xの実数部範囲の分割数を設定します。
- Xｒ初期値 Xr1：変数Xの実数部の初期値を設定します。
- Xr終値 Xr2：変数Xの実数部の終値を設定します。
- Xi分割数 Ni：変数Xの虚数部範囲の分割数を設定します。
- Xi初期値 Xi1：変数Xの虚数部の初期値を設定します。
- Xi終値 Xi2：変数Xの虚数部の終値を設定します。
- 定数 A：関数Y=A*cos(X)の係数を設定します。
- cos cos（X)：=IMCOS(C16)を設定します。
- 「計算実行」ボタンを押すと３Dグラフを作成します。
デフォルト条件での実行結果複素関数Y=cos(X)の実数部３Dグラフを図8-1に示します。
複素関数Y=cos(X)の虚数部３Dグラフを図8-2に示します。
複素関数Y=sin(X)の実数部３Dグラフを図8-3に示します。
複素関数Y=sin(X)の虚数部３Dグラフを図8-4に示します。
図8-1〜図8-4から、cos（X)とsin(X)で位相がπ/2ずれているだけで 同じ形をしていることがわかります。
複素関数Y= cos(X)の微分の検証1複素関数Y= cos(X)の微分はdY/dX＝-sin(X)です。
Yの変化量ΔYはXが実数軸上で変化した場合、すなわち
X＝1、ΔX=0.1の時
Xが1から虚数軸上で変化した場合、すなわち
X＝1、ΔX=0.1×iの時
(7.8)式、(7.9)式の結果は３Dグラフ図8-1と図8-2の結果と比べて 矛盾の無いことが確認できます。
複素関数Y= cos(X)の微分の検証2複素関数Y= cos(X)を数値微分で検証します。
検証条件は
X＝1+i、ΔH=0.01×(1+i)とします。
Y= -sin(X)の値は以下となります。
次に数値微分法で微分値を求めます。
結果は以下となります。
（8.11）式の演算はEXCELの複素関数機能を使用すれば簡単に計算できます。
さて、（8.10）式の結果と（8.11）式の結果を比較すると値が一致していることがわかります。
複素三角関数の特徴- 実数の三角関数の公式が複素数の三角関数に適用できます。
- cos(X)微分は-sin(X)となります。
- sin(X)微分はcos(X)となります。
- 従って、不定積分は可能です。
複素関数の微分まとめ（１）実数の微分公式はそのまま、複素関数の微分公式として適用できます。
（２）上記の公式と数値微分の結果は完全に一致します。
９章：複素関数の不定積分に行く。