ベクトルの内積図5-1に示すベクトルの内積の定義において、２個のベクトルAとBにおいて、ベクトルの内積は下記の式で定義されます。
基本ベクトルの内積図5-2の基本ベクトルの内積において、ベクトルAのX、Y、.Z成分Ax,Ay,Azは下記の式で表現できます。
また、基本ベクトルi、j、k間の内積は全てゼロとなります。
ベクトルの内積の基本公式上記の（5.1）式で定義されたベクトルの内積から、下記の重要な基本公式が導かれます。
(5.6)式と（5.7）式から2個のベクトルAとBの成す角度θを求めることができます。通常、3次元ベクトルを2次元の紙面に正確に記述することは困難です。従って、正確な作図が困難ですが、 (5.6)式と（5.7）式から作図を行うことなく、角度θが求まります。
この性質は3次元の形状を扱う上で重要な性質となります。
私ごとになりますが、光の不思議と応用-２７章：光線追跡の基礎理論においては、 (5.6)式を用いて光線追跡の計算式を導きました。（ ベクトルの公式を使用すると3次元ベクトルを正確に描画できなくても、計算式を求めることができます。）
（5.6）式の証明（１）ベクトルAとBの内積は下記式のように展開できる。
（5.8）式において
（5.8）式に(5.9)式と（5.10）式を代入して
を得る。
（5.6）式の証明（２）単位ベクトルAとB、および三角関数の公式から証明する。
下記の三角関数の公式を使用する。
図5-3から
（5.11）式に(5.12)式と（5.13）式を代入して
を得る。
(5.6)式の証明は2通りの方法を用いたが、いずれも成立することが証明できます。
また、具体的な光線追跡の演算で使用した場合も矛盾は生じていません。
ベクトルの内積計算演習EXCELを用いて、ベクトルの内積計算演習を行い、ベクトルの内積計算のイメージアップを図りましょう!!
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- シート「操作」はパラメータの設定と操作を行います。
- シート「XY平面」はXY平面上の作図を行います。
- シート「YZ平面」はYZ平面上の作図を行います。
シート「操作」- ベクトル数(Nb) ：ベクトル数を設定します。
- X：ベクトル始点のX成分を設定します。
- Y：ベクトル始点のY成分を設定します。
- Z：ベクトル始点のZ成分を設定します。
- ΔX：ベクトルのX成分を設定します。
- ΔY：ベクトルのY成分を設定します。
- ΔZ：ベクトルのZ成分を設定します。
- 「作図実行」ボタンを押すと作図を実行します。
計算・作図結果入力条件を下記表に示します。
ベクトルAとBの値を設定するとベクトルの内積、角度θ等 は自動計算されます。
作図結果を下記に示します。
ベクトルの相対角度θは60度ですが、作図結果からは 明確には判断できません。
相対角度θについては、作図よりも計算の方が重要です！！
６章：ベクトルの外積に行く。